Formulación matemática del Perceptrón

Si quisiéramos formular matemáticamente este comportamiento, podríamos hacerlo fácilmente con las siguientes fórmulas:

Es decir, cuando la suma de los productos de cada valor de entrada x_i y el peso asociado w_i sea mayor o igual que el umbral, la neurona devuelve un 1. En caso contrario devuelve un 0. Obsérvese que los sumatorios incluyen desde la señal de entrada 1 hasta la señal de entrada n.

Para simplificar, normalmente se pasa el umbral a la izquierda de la desigualdad con signo negativo:

y a ese “-umbral” se renombra a b, quedando:

El término b es frecuentemente llamado bias.

Ahora, el esquema de la neurona sería el siguiente:

Obsérvese que, tras el cambio, la función de activación (la función escalón) está centrada en el valor 0.

De hecho, podemos ir más lejos y suponer que el bias, aun siendo un valor fijo (determinado durante la configuración de la neurona), es el valor de entrada x₀, con un peso w₀ igual a 1, en cuyo caso bastaría con modificar los sumatorios para que incluyesen también a esta “señal de entrada cero”:

En este caso, el esquema del Perceptrón sería el siguiente:

Si queremos simplificar aún más esta expresión, podemos considerar que el conjunto de pesos w_i forman el vector fila w, y que el conjunto de valores x_i forman el vector columna x, de forma que el sumatorio indicado puede obtenerse como el producto escalar de los vectores w^T (el vector transpuesto de w) y x:

Es decir:

El resultado de la suma ponderada de los valores de entrada (lo que hemos formulado como w^t●x) es lo que se conoce como net input (entrada neta en español) y frecuentemente se representa con la letra z. Por otro lado, también se suele usar el símbolo Φ para hacer referencia a la función de activación: